બિંદુ

આધુનિક ગણિતમાં, અવકાશ ગણના સભ્યને સામાન્ય રીતે બિંદુ કહેવાય છે.

ખાસ કરીને, ભૂમિતિમાં, બિંદુ એ એક પ્રાથમિક સંકલ્પના છે જેના પર ભૂમિતિનો આધાર છે, એટલે કે અગાઉ વ્યાખ્યાયિત ઘટકો વડે બિંદુની વ્યાખ્યા કરી શકાતી નથી. એટલે કે, બિંદુ માત્ર કેટલાક ગુણધર્મો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને પૂર્વધારણાઓ કહેવામાં આવે છે, જે તેને સંતોષવા જ જોઈએ. ખાસ કરીને, ભૌમિતિક બિંદુઓને કોઈ લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ, ઘનફળ અથવા અન્ય કોઈ પરિમાણીય ગુણધર્મ હોતા નથી. એક સામાન્ય અર્થઘટન એ છે કે બિંદુની વિભાવના એ યુક્લિડિયન અવકાશમાં એક અનન્ય સ્થાનની કલ્પનાને રજૂ કરવા માટે છે. ^[૧]

યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં બિંદુઓ

યુક્લિડિયન ભૂમિતિના માળખામાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા બિંદુઓ, સૌથી મૂળભૂત ઘટકોમાંના એક છે. યુક્લિડએ મૂળરૂપે બિંદુને "જેનો કોઈ ભાગ નથી" એમ વ્યાખ્યાયિત કર્યા હતા. બે પરિમાણીય યુક્લિડીન ભૂમિતિમાં, બિંદુને સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત જોડી (x, y) વડે રજૂ કરવામાં આવે છે, જ્યાં પરંપરાગત રીતે પ્રથમ સંખ્યા આડી અક્ષ રજૂ કરે છે અને x દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, અને બીજી સંખ્યા ઊભી અક્ષ રજૂ કરે છે અને y દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. આ વિચારને સરળતાથી ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં સામાન્યીકૃત કરવામાં આવે છે, જ્યાં એક બિંદુને ક્રમયુક્ત ત્રિપુટી (x, y, z) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમાં ત્રીજી સંખ્યા ઉંડાઈને રજૂ કરે છે અને z દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વધુ સામાન્યકરણ n પદવાળી ક્રમયુક્ત ટ્યુપલ $(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ દ્વારા રજૂ થાય છે જ્યાં n એ જેમાં બિંદુ સ્થિત છે તે અવકાશનું પરિમાણ છે.

યુક્લિડિયન ભૂમિતિની અંદરની ઘણી રચનાઓ બિંદુઓનો અનંત સમૂહ ધરાવે છે, જે ચોક્કસ પૂર્વધારણાઓનું પાલન કરે છે. આ સામાન્ય રીતે બિંદુઓના ગણ દ્વારા રજૂ થાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખા એ બિંદુઓનો અનંત સમૂહ છે જે આ સ્વરૂપમાં છે: $L = {(a_{1}, a_{2}, . . . a_{n}) | a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + . . . a_{n} c_{n} = d}$ , જ્યાં c₁ થી c_n અને d અચળાંકો છે અને n એ અવકાશનું પરિમાણ છે. આવી જ અન્ય રચનાઓ અસ્તિત્વમાં છે જે સમતલ, રેખાખંડ અને અન્ય સંબંધિત ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ફક્ત એક જ બિંદુ ધરાવતો રેખાખંડ ડિજનરેટ રેખાખંડ કહેવાય છે.

બિંદુને અને તેને લગતી રચનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા ઉપરાંત, યુક્લિડે બિંદુઓ વિશે એક મહત્વનો વિચાર પૂર્વધારણા તરીકે રજૂ કર્યો હતો, કે કોઈપણ બે બિંદુઓને સીધી રેખા દ્વારા જોડી શકાય છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિના આધુનિક વિસ્તૃતિકરણ હેઠળ આની સહેલાઇથી પુષ્ટિ થઈ છે, અને તેના આવવાથી લાંબા ગાળાના પરિણામો મળ્યા હતા, જેની મદદથી તે સમયે જાણીતા લગભગ તમામ ભૌમિતિક ખ્યાલોના નિર્માણ કરી શકાયા હતા. જો કે, યુક્લિડની બિંદુઓની પૂર્વધારણાઓ ન તો સંપૂર્ણ હતી કે ન તો નિર્ણાયક, અને તેણે ક્યારેક-ક્યારેક એવા મુદ્દાઓ વિશેની ધારણાઓ ધારણ કરી હતી જે તેની પૂર્વધારણાઓમાંથી સીધા સાબિત નહોતા કરી શકાય, જેમકે રેખા પરના બિંદુઓનો ક્રમ અથવા ચોક્કસ બિંદુઓનું અસ્તિત્વ. આમ છતાં, તેની પ્રણાલિનું આધુનિક વિસ્તરણ આ ધારણાઓને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે.